FOM1.5: Dôsledky Gödelovych viet o neúplnosti

október 28, 2008 in Foundations Of Mathematics | Tags: filozofia, godel, neúplnosť, Uncategorized | 6 comments

Godel: Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine.
Cantor: I see it, but I don’t believe it.
Gordan: This (axiomatic math) is no longer mathematics, it is theology.

Godelove vety vyvolali mnozstvo otazok. Co v praxi znamena ze tvrdenie ktore sa snazime dokazat je nezavisle? Existuju vobec nejake “zaujimave” nezavisle tvrdenia? Ako dokazat ze tvrdenie je nezavisle? A nie su nahodou v nasej “matematike” dokazatelne vsetky tvrdenia?

To su pravdaze dolezite a vo vseobecnosti tazke otazky. V tomto clanku ich trocha rozvedieme. Dalej ukazeme ako z neuplnosti plynie existencia tzv. nestandardnych modelov aritmetiky, neriesitelne diofanticke rovnice(v PA). Prevedieme formalne systemy na turing machine a tym rozsirime dosledky neuplnosti do computer science.

Nakoniec zmienime aj fantasticku filozoficku aplikaciu Godelovych viet. Konkretne, moze clovek poznat formalny system ktory by ho uplne popisoval?

Fenomen neuplnosti sa tak stane inspiraciou pre mnoho novych smerov poznania.

Read the rest of this entry »
FOM1.4: 2.Gödelova veta o neúplnosti

október 9, 2008 in Foundations Of Mathematics | Tags: godel,truth about enzyte konzistentnost, neúplnosť, peanova aritmetika | No comments

D.Hilbert: We must know, we will know.
B.Russell: Extreme hopes are born from extreme misery.

Nahliadneme ze dostatocne silne rekurzivne axiomatizovatelne konzistentne teorie nemozu dokazat svoju konzistentnost.

Predtym zavedieme Peanovu aritmetiku a objasnime co znamena dokazat bezospornost teorie T vnutri teorie T.

Read the rest of this entry »
FOM1.3: 1.Gödelova veta o neúplnosti

September 28, 2008 in Foundations Of Mathematics | Tags: godel, neúplnosť, sebareflexia | No comments

In mathematics you don’t understand things. You just get used to them. John von Neumann

Dokazeme ze pre kazdu bezospornu rekurzivne axiomatizovatelnu teoriu T rozsirujucu robinsonovu aritmetiku existuje aritmeticke tvrdenie(pravdive v prirodzenych cislach), ktore v T nemozno dokazat ani vyvratit.

Dokaz je zalozeny na konstrukcii formule teorie T ktora bude dokazatelna v T pre numeral x prave vtedy ak je prirodzene cislo x kodom formule dokazatelnej v T. Formule teorie T tak budu vypovedat o teorii T. Tato sebareflexivna vlastnost je klucova a dosiahne sa zakodovanim teorie T do prirodzenych cisel.

pozn.: Kodovanie formalnych systemov do cisel(pochadzajuce od Godela) je revolucne je to ako ta vec ked ocislujete body priestoru…

Tvrdenie ktore chceme dokazat znie trocha divne, totiz este nevieme co tvrdi. Cestou preto uvedieme par definicii ako tato: Teoria T rozsiruje teoriu Q ak vsetky symboly jazyka Q su aj v jazyku T a kazde tvrdenie dokazatelne v Q je dokazatelne v T.

Read the rest of this entry »
FOM1.2: Ako definovať exponencionálu pomocou sčítania a násobenia

September 10, 2008 in Foundations Of Mathematics | Tags: aritmetika, godel | No comments

Mathematics is the part of science you could continue to do if you woke up tomorrow and discovered the universe was gone.

Nájdeme formulu v jazyku robinsonovej aritmetiky Q(viď predchádzajúci článok), ktorá bude platiť pre numerály práve vtedy ak pre prirodzené čísla platí .

Tzv. Godelovu -funkciu, ktorú pri tom definujeme -formulou, použijeme v ďalšom článku pri dôkaze vety o neúplnosti.

Pozn. Nie je známy jednoduchší spôsob ako dokázať, že napr. vzťah je definovatelný len pomocou sčítania a násobenia než ukázať to pre obecnejší prípad . Alebo o takom viete?

Read the rest of this entry »
FOM1.1: Σ-úplnosť robinsonovej aritmetiky

August 31, 2008 in Foundations Of Mathematics | Tags: godelove vety o neúplnosti, prirodzené čísla, robinsonova aritmetika | No comments

we are here together, so begin. Goethe, Faust

Podľa predchádzajúceho článku, matematické teórie reprezentujeme ako formálne systémy(jazyk, axiómy, odvodzovacie pravidlá…). V tomto článku si pripravíme prostriedky pre dôkaz jedného z najslávnejšich výsledkov matematiky: Godelove vety o neúplnosti, ktorý kladie dôležité obmedzenia na to čo môžu formálne systémy dokázať.

Zavedieme teóriu robinsonovej aritmetiky, pravdu na prirodzených číslach a dokážeme vetu o -úplnosti robinsonovej aritmetiky. Tá tvrdí že pre istú skupinu formulí je pravdivosť v prirodzených číslach ekvivalentná dokázatelnosti v robinsonovej aritmetike. Poznatky o prirodzených číslach tak budú dobrou pomôckou k dokazovaniu teorém.

Read the rest of this entry »
Tractatus Logico-Philosophicus

August 17, 2008 in Poetry | Tags: filozofia jazyka, wittgenstein | 3 comments

“houston, máme problem: je tu nuda” The Simpsons
Článok je silne inšpirovaný rovnomennou prácou L.Wittgensteina
(niektore casti su dosl.prepis). Je to umelecký pokus-hra jazyka.
tomuto textu pravdepodobne porozumie len niekto kto ma myšlienky aspoň podobné tym ktoré sú v ňom vyjadrené(v tomto zmysle môže byť jeho jazyk odmietnutý)
.
zaoberá sa filozofickými problémami. cieľom je ukázať hranice vyjadrenia myslenia a nahliadnuť nepochopenie vlastného jazyka
.
čo môže byť povedané, môže byť povedané jasne. čo nemôžeme vysloviť o tom máme mlčať

Read the rest of this entry »
Gödelov počítač

August 1, 2008 in Uncategorized | Tags: godel, neúplnosť, Uncategorized | No comments

There is only one truth value: the truth. Luciano Büchler

V knihe Gödel’s incompleteness theorem’s; Raymond M. Smullyan som našiel milú ilustráciu princípu neúplnosti. Tu je máte v podstate v nezmenej podobe. Read the rest of this entry »
24-kou z Karlova na Karlín

Júl 18, 2008 in Poetry | No comments
to have no time for philosophy is to be a true philosopher. Pascal,Pensées

trocha matfyzackej poezie z ust spoluziaka(obecna matika, prvak:06/07)

Read the rest of this entry »
FOM0: Čo je matematika

Jún 21, 2008 in Foundations Of Mathematics | Tags: formalny system, matematicka logika, matematika, metamatematika | 1 comment

Čím viac premýšľam o jazyku tým viac sa divím že si ľudia vôbec rozumejú. Godel

Filozofia vznikla z nepochopenia jazyka. Wittgenstein

Matematiku môžme chápať ako formálne odvodzovanie. Konštrukciu ktorou je popísaná každá známa matematická teória je Formálny systém. V tomto článku načrtneme vzťah jednotlivých formálnych systémov v ktorých matematici pracujú a systému “celej” matematiky - ZFC teória množín.

Read the rest of this entry »